Calculul ecuatiilor matriciale

   Fie A, BÎMm× m ( C), A = a₁₁   a₁₂   a ₁₃ ……...a_1m  , B= b₁₁ b ₁₂  b₁₃ ……b_1m

                                             a₂₁   a₂₂   a ₂₃ ……...a_2m         b₂₁ b ₂₂  b₂₃ ……b_2m

                                             a₃₁   a₃₂   a ₃₃ ……...a_3m         b₃₁ b ₃₂  b₃₃ ……b_3m

                                             ………………………         …………………… 

                                             a_m1  a_m2  a _m3 ……..a_mm         b_m1b _m2  b_m3 …..b_mm  

astfel încât A så fie ne singularå ( deci så existeA^-1). Så consideråm ecua-tiile matriceale :

               AX=B, YA=B

înmultind prima ecuatie la stânga cu A^-1 si pe a doua la dreapta cu A^-1, se obtine:    

                A^-1(AX)= A^-1B, (YA) A^-1= BA^-1

folosind asociativitatea matricilor se obtine:         

                 (A^-1A)X= A^-1B, Y(A A^-1)= BA^-1

dar (A^-1A)=I_m si folosind proprietatea matricii identice,se va obtine:

                 X= A^-1B, Y= BA^-1

iar prin calculul A^-1B si B A^-1 se va obtine X, Y. De obicei X,Y sunt diferite deoarece înmultirea matricilor nu este comutativå:

 

    Så se rezolve urmåtoarele ecuatii matriciale:

1.   2   1              5    6                     2    1   5    6

               · X =               ,notez A=             ,B=

      2   3              6    8                2    3         6    8

 A^-1·/A·X=B ⇒ A^-1·(A·X)= A^-1B⇒ (A^-1·A)·X= A^-1B⇒I₂·X= A^-1B⇒X= A^-1B

detA = 2·3 – 2 = 4

 A^-1=(1/ detA)·A*

        a*₁₁   a*₂₁  

A*=

        a*₁₂   a*₂₂

a*₁₁ =(-1)² ·3= 3     

a*₁₂  =(-1)³ ·2= -2        

a*₂₁ =(-1)³ ·1= -1          

 a*₂₂ =(-1)⁴ ·2=  2

        3   -1  

A*=

        -2   2

                   3   -1     3/4  -1/4

A^-1=(1/4) ·            =

                  -2   2      -1/2  1/2 

   

      3/4 -1/4    5   6     9/4 5/2

X=               ·          =

      -1/2 1/2    6   8      1/2   1

2.         -1  -2      1    2                    -1  -2     1    2

     X·             =             ,notez A=             ,B=

            5    8       -3   6                5    8         -3   6

X·A=B/·A^-1⇒(X·A)·A^-1=B·A^-1⇒X·(A·A^-1)=B ·A^-1⇒X ·I₂=B· A^-1⇒X= B ·A^-1

detA = -8 +10 =2

 A^-1=(1/ detA)·A*

        a*₁₁   a*₂₁  

A*=

        a*₁₂   a*₂₂

a*₁₁ =(-1)² ·8= 8     

a*₁₂  =(-1)³ ·(-2)=2        

a*₂₁ =(-1)³ ·5= -5          

 a*₂₂ =(-1)⁴ ·(-1)= -1

        8    2  

A*=

        -5  -1

                  8     2       4     1

A^-1=(1/2) ·            =

                  -5   -1    -5/2 -1/2 

   

      7   2      4         1       23     6

X=          ·                 =

      -3  5     -5/2 -1/2    -49/4 -11/2  

3.   -1   2        4   6        8   13                   -1   2    4   6         8   13

                ·X·          =              ,notez A=             ,B=           ,C =  

      -3   8        5   8       -4   -7               -3   8         5   8         -4   -7

A·X·B=C/·B^-1⇒(A·X·B)·B^-1=C·B^-1⇒(A·X)·(B·B^-1)=C·B^-1⇒(A·X)·I₂=C·B^-1⇒ (A^-1)·/A·X=C·B^-1⇒A^-1(A·X)=A^-1·C·B^-1⇒(A^-1·A)·X=A^-1·C·B^-1⇒I₂·X=A¹·C· B^-1⇒X=A^-1·C·B^-1

detA = -8 +6 =-2

 A^-1=(1/ detA)·A*

        a*₁₁   a*₂₁  

A*=

        a*₁₂   a*₂₂

a*₁₁ =(-1)² ·8= 8     

a*₁₂  =(-1)³ ·(-3)=3        

a*₂₁ =(-1)³ ·2= -2          

 a*₂₂ =(-1)⁴ ·(-1)= -1

        8    -2  

A*=

        3    -1

                       8   -2      -4      1

A^-1=[1/-(2)] ·            =

                       3   -1     -3/2  1/2 

detB= 32-30 =2

 B^-1=(1/ detB)·B*

        b*₁₁   b*₂₁  

B*=

        b*₁₂   b*₂₂

b*₁₁ =(-1)² ·8= 8     

b*₁₂  =(-1)³ ·5=-5        

b*₂₁ =(-1)³ ·6= -6          

b*₂₂ =(-1)⁴ ·4= 4

        8    -6  

B*=

        -5    4

                   8   -6       4      -3

B^-1=(1/2) ·            =

                   -5   4     -5/2    2 

   

       -4    1      8   13       4    -3     -36 -59    4   -3     7/2  -10  

X=               ·            ·               =              ·            =

     -3/2  1/2   -4   -7     -5/2  2            -14 -23   -5/2  2     3/2  -4 

4.         1  2  3      -1  5  3                     1  2  3         -1  5  3

     X·   0  1  2  =   2  1 -1  ,notez A=   0  1  2  ,B=  2   1 -1

            -1 2  1      -3  4 -5                         -1  2  1         -3  4 -5

X·A=B/·A^-1⇒(X·A)·A^-1=B·A^-1⇒X·(A·A^-1)=B ·A^-1⇒X ·I₂=B· A^-1⇒X= B ·A^-1

detA = 1– 4 + 3 – 4 = -4

 A^-1=(1/ detA)·A*

        a*₁₁  a*₂₁ a*₃₁ 

A*= a*₁₂  a*₂₂ a*₃₂

        a*₁₃  a*₂₃ a*₃₃

a*₁₁ =(-1)² ·(-3)= -3     

a*₁₂  =(-1)³ ·2=-2        

a*₁₃ =(-1)⁴ ·1= 1     

a*₂₁ =(-1)³ ·(-4)=4     

a*₂₂ =(-1)⁴ ·4= 4     

a*₂₃ =(-1)⁵ ·4= 4          

a*₃₁ =(-1)⁴ ·1= 1

a*₃₂ =(-1)⁵ ·2=-2     

a*₃₃ =(-1)⁶ ·1= 1     

        -3  4  1  

A*= -2  4 -2

         1 -4  1

                      -3  4  1

A^-1=[1/(-4)] · -2  4 -2         

                       1 -4  1

                      -1  5  3     -3  4  1                  -4  4   -8         1   -1   2

X = [1/(-4)] ·  2   1 -1 ·  -2  4 -2 = [1/(-4)]· -9 16  -1   =  9/4 -4  1/4

                      -3  4 -5      1 -4  1                  -4 24 -16        1   -6   4

5.    1  1  1  1             1  2  3  4                     1  1  1  1          1  2  3  4   

       0  1  1  1  · X =   0  1  2  3 ,notez A=    0  1  1  1 ,B=   0  1  2  3     

       0  0  1  1             0  0  1  2                     0  0  1  1          0  0  1  2

       0  0  0  1             0  0  0  1                     0  0  0  1          0  0  0  1

A^-1·/A·X=B ⇒ A^-1·(A·X)= A^-1B⇒ (A^-1·A)·X= A^-1B⇒I₂·X= A^-1B⇒X= A^-1B

             1  1  1  1

detA =   0  1  1  1   =  1         

       0  0  1  1

             0  0  0  1

A^-1=(1/ detA)·A*

        a*₁₁   a*₂₁  a*₃₁  a*₄₁  

A*= a*₁₂   a*₂₂  a*₃₂  a*₄₂

        a*₁₃   a*₂₃  a*₃₃  a*₄₃

        a*₁₄   a*₂₄  a*₃₄  a*₄₄

a*₁₁ =(-1)² ·1= 1     a*₂₁ =(-1)³ ·1=-1     a*₃₁ =(-1)⁴ ·0= 0     a*₄₁ =(-1)⁵ ·0= 0

a*₁₂  =(-1)³ ·0= 0     a*₂₂ =(-1)⁴ ·1= 1     a*₃₂ =(-1)⁵ ·1=-1     a*₄₂ =(-1)⁶ ·0= 0

a*₁₃ =(-1)⁴ ·0= 0     a*₂₃ =(-1)⁵ ·0= 0     a*₃₃ =(-1)⁶ ·1= 1      a*₄₃ =(-1)⁷ ·1=-1

a*₁₄ =(-1)⁵ ·0= 0     a*₂₄ =(-1)⁶ ·0= 0     a*₃₄ =(-1)⁷ ·0= 0         a*₄₄ =(-1)⁸ ·1=  1

         1 -1  0  0  

A*=  0  1 -1  0 = A^-1

         0  0  1 -1

         0  0  0  1

         1 -1  0  0     1  2  3  4      1  1  1  1

 X =  0  1 -1  0  ·  0  1  2  3  =  0  1  1  1

         0  0  1 -1     0  0  1  2      0  0  1  1

         0  0  0  1     0  0  0  1       0  0  0  1

6.   2  2  3         1  2 -3      0 -1 -1                    2  2  3          1  2 -3          0 -1 -1

      1 -1  0  ·X·  0  1  2  =  0  1  1  ,notez A=   1 -1  0 ,B=   0  1  2  ,C = 0  1  1

     -1  2  1         0  0  1      0  0  1                    -1  2  1          0  0  1          0  0  1  

A·X·B=C/·B^-1⇒(A·X·B)·B^-1=C·B^-1⇒(A·X)·(B·B^-1)=C·B^-1⇒(A·X)·I₂=C·B^-1⇒ (A^-1)·/A·X=C·B^-1⇒A^-1(A·X)=A^-1·C·B^-1⇒(A^-1·A)·X=A^-1·C·B^-1⇒I₂·X=A¹·C· B^-1⇒X=A^-1·C·B^-1

detA = -2+6-3-2=-1

 A^-1=(1/ detA)·A*

        a*₁₁   a*₂₁ a*₃₁ 

A*= a*₁₂  a*₂₂ a*₃₂

        a*₁₃  a*₂₃ a*₃₃

a*₁₁ =(-1)² ·(-1)= -1    a*₂₁ =(-1)³ ·(-4)= 4     a*₃₁ =(-1)⁴ ·3= 3    

a*₁₂  =(-1)³ ·1=-1         a*₂₂ =(-1)⁴ ·5= 5         a*₃₂ =(-1)⁵ ·(-3)= 3       

a*₁₃ =(-1)⁴ ·1= 1          a*₂₃ =(-1)⁵ ·6= -6       a*₃₃ =(-1)⁶ ·(-4)= -4  

        -1  4  3  

A*= -1  5  3

         1 -6 -4

                      -1  4  3      1 -4 -3

A^-1=[1/(-1)] · -1  5  3 =   1 -5 -3

                       1 -6 -4     -1  6  4

detB= 1=1

 B^-1=(1/ detB)·B*

        b*₁₁   b*₂₁ b*₃₁  

B*= b*₁₂  b*₂₂ b*₃₂

        b*₁₃   b*₂₃ b*₃₃

b*₁₁ =(-1)² ·1= 1          b*₂₁ =(-1)³ ·2= -2        b*₃₁ =(-1)⁴ ·7= 7    

b*₁₂  =(-1)³ ·0= 0          b*₂₂ =(-1)⁴ ·1= 1         b*₃₂ =(-1)⁵ ·2= -2       

b*₁₃ =(-1)⁴ ·0= 0          b*₂₃ =(-1)⁵ ·0= 0          b*₃₃ =(-1)⁶ ·1= 1  

         1 -2  7  

B*=  0  1 -2  = B^-1

         0  0  1

   

      1 -4 -3      0 -1 -1    1 -2  7     0 -5 -8     1 -2  7     0 -5  2

X= 1 -5 -3  ·   0  1  1  · 0  1 -2  = 0 -6 -9  ·  0  1 -2 =  0 -6  3

     -1  6  4      0  0  1     0  0  1      0  7 11    0  0  1      0  7 -3 

7.         5  3  4                                          5   3  4        

     X·  -6 -3 -5  = (3  2  1) ,notez A= -6 -3 -5  ,B= ( 3 2 1)

            4  2  2                                          4   2  2        

X·A=B/·A^-1⇒(X·A)·A^-1=B·A^-1⇒X·(A·A^-1)=B ·A^-1⇒X ·I₂=B· A^-1⇒X= B ·A^-1

detA = -30-48-60+48+50+36 = -4

 A^-1=(1/ detA)·A*

        a*₁₁  a*₂₁ a*₃₁ 

A*= a*₁₂  a*₂₂ a*₃₂

        a*₁₃  a*₂₃ a*₃₃

a*₁₁ =(-1)² ·4= 4     a*₂₁ =(-1)³ ·(-2)= 2     a*₃₁ =(-1)⁴ ·(-3)= -3     

a*₁₂  =(-1)³ ·8=-8    a*₂₂ =(-1)⁴ ·(-6)= -6    a*₃₂ =(-1)⁵ ·(-1)= 1  

a*₁₃ =(-1)⁴ ·0= 0     a*₂₃ =(-1)⁵ ·(-2)= 2     a*₃₃ =(-1)⁶ ·3= 3

         4  2 -3  

A*= -8 -6  1

         0  2  3

                                        4  2 -3                 

X = [1/(-4)] · (3  2  1) ·  -8 -6  1 = [1/(-4)]·(-4 -4 -4) = ( 1  1  1)

                                        0  2  3                 

8.         2  0  1       1  2  3                                 2  0  1          1  2  3

     X·   4  s  2  =   0  1  2   s∈ R   ,notez A=    4  s  2  ,B=   0  1  2

            1  1  1      -1  1  2                                      1  1  1         -1  1  2

X·A=B/·A^-1⇒(X·A)·A^-1=B·A^-1⇒X·(A·A^-1)=B ·A^-1⇒X ·I₂=B· A^-1⇒X= B ·A^-1

A^-1=(1/ detA)·A*

detA = 2s+4-s-4=s

Cazul I  s=0 ⇒ ∄ A^-1 

Cazul II s≠0⇒∃ A^-1⇒ detA=s

A^-1=(1/ detA)·A*

        a*₁₁  a*₂₁ a*₃₁ 

A*= a*₁₂  a*₂₂ a*₃₂

        a*₁₃  a*₂₃ a*₃₃

a*₁₁ =(-1)² ·(s-2)= s-2     

a*₁₂  =(-1)³ ·2=-2        

a*₁₃ =(-1)⁴ ·(4-s)=4-s     

a*₂₁ =(-1)³ ·(-1)=1     

a*₂₂ =(-1)⁴ ·1= 1     

a*₂₃ =(-1)⁵ ·2=-2          

a*₃₁ =(-1)⁴ ·(-s)=-s

a*₃₂ =(-1)⁵ ·0=0     

a*₃₃ =(-1)⁶ ·2s=2s     

        s-2  1 -s  

A*=  -2  1  0

       4-s -2 2s 

                   1  2  3     s-2  1 –s            6-2s  -3  5s       (6-2s)/s -3/s  5

X = 1 / s ·   0  1  2  ·   -2   1  0  =1/s ·  2-2s  -3  4s  =  (2-2s)/s -3/s  4

                  -1  1  2    4-s -2  2s            8-3s  -4  5s      (8-3s)/s -4/s  5

9.         1  2  3       6  9  8                     1  2  3          6  9  8

     X·   2  3  4  =               ,notez A=   2  3  4  ,B= 

            3  4  1       0  1  6                          3  4  1          0  1  6

X·A=B/·A^-1⇒(X·A)·A^-1=B·A^-1⇒X·(A·A^-1)=B ·A^-1⇒X ·I₂=B· A^-1⇒X= B ·A^-1

detA = 3+24+24-27-16-4 = 4

 A^-1=(1/ detA)·A*

        a*₁₁  a*₂₁ a*₃₁ 

A*= a*₁₂  a*₂₂ a*₃₂

        a*₁₃  a*₂₃ a*₃₃

a*₁₁ =(-1)² ·(-13)= -13     

a*₁₂  =(-1)³ ·(-10)=10        

a*₁₃ =(-1)⁴ ·(-1)= -1     

a*₂₁ =(-1)³ ·(-10)=10     

a*₂₂ =(-1)⁴ ·(-8)= -8     

a*₂₃ =(-1)⁵ ·(-2)= 2          

a*₃₁ =(-1)⁴ ·(-1)= -1

a*₃₂ =(-1)⁵ ·(-2)=2     

a*₃₃ =(-1)⁶ ·(-1)= -1     

        -13  10 -1  

A*=  10  -8  2

          -1   2  -1

                   6  9  8     -13  10  -1                  4  4   4       1  1  1

X = (1/4) ·              ·   10   -8  2   = (1/-4)·                = 

                   0  1  6       -1   2   -1                  4  4  -4       1  1 -1